超不連結コンパクトHausdorff空間の直積とファイバー積の非存在に関する完全な証明

圏 $\mathbf{ExtrDisc}$ における終対象は、1点空間 $1 = \{*\}$ である（1点空間はコンパクトHausdorffかつ超不連結であるため $\mathbf{ExtrDisc}$ の対象である）。

直積 $P \in \mathbf{ExtrDisc}$ が存在すると仮定する。定義より、射（連続写像） $p_X: P \to X$ と $p_Y: P \to Y$ が存在し、普遍性を満たす。

任意の位相空間 $W \in \mathbf{ExtrDisc}$ から対象 $A$ への連続写像の集合を $\mathrm{Hom}(W, A)$ と書く。テスト空間として終対象 $W = 1$ を選ぶ。$1$ から任意の空間 $A$ への連続写像は、$A$ の点と1対1に対応する。すなわち、自然な全単射 $\mathrm{Hom}(1, A) \cong A$ が存在する。

直積の普遍性より、任意の $f \in \mathrm{Hom}(1, X)$ と $g \in \mathrm{Hom}(1, Y)$ に対して、一意な連続写像 $h \in \mathrm{Hom}(1, P)$ が存在し、$p_X \circ h = f$ かつ $p_Y \circ h = g$ を満たす。これは集合のレベルで言えば、任意の $(x, y) \in X \times_{Top} Y$ に対して、唯一の点 $z \in P$ が存在し、$p_X(z) = x$ かつ $p_Y(z) = y$ となることを意味する。

したがって、連続写像の組から誘導される写像 $$ p = (p_X, p_Y): P \to X \times_{Top} Y $$ は、全単射 (bijection) である。ここで、位相空間論の基本的な事実として「コンパクト空間からHausdorff空間への連続な全単射は同相写像である」という定理がある。$P \in \mathbf{ExtrDisc}$ より $P$ はコンパクト空間である。また、$X, Y$ はHausdorff空間なので、その位相的直積 $X \times_{Top} Y$ もHausdorff空間である。

よって、全単射連続写像 $p: P \to X \times_{Top} Y$ は同相写像である。ゆえに、圏 $\mathbf{ExtrDisc}$ における直積は、位相的直積と同相でなければならない。

直積位相空間 $X \times X = \beta\mathbb{N} \times \beta\mathbb{N}$ を考える。定義で見たように $\mathbb{N}$ は $\beta\mathbb{N}$ の開部分集合であり（各 $n \in \mathbb{N}$ について $\{n\}^*$ が開集合となるため）、したがって $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ は $X \times X$ の開部分集合であり、かつ離散位相を持つ。

ここで、$X \times X$ の部分集合 $U, V$ を次のように定義する。 $$ U = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid n < m \} $$ $$ V = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid n > m \} $$ $U$ と $V$ は $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の部分集合であり、$\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ の各点が $X \times X$ において孤立点であるため、$U$ と $V$ はともに $X \times X$ の開集合である。定義から明らかに $U \cap V = \varnothing$ である。

もし $X \times X$ が超不連結であるならば、互いに素な開集合の閉包は交わらない、すなわち $\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$ でなければならない。これが成り立たないことを示す。

自由超フィルター（$\beta\mathbb{N} \smallsetminus \mathbb{N}$ の元）を一つ選び、$q$ とする。点 $(q, q) \in X \times X$ を考える。この点 $(q, q)$ が $\overline{U}$ と $\overline{V}$ の両方に属すること、すなわち $(q, q) \in \overline{U} \cap \overline{V}$ を示す。

$(q, q)$ の $X \times X$ における任意の基本開近傍は、$O_1 \times O_2$ の形をしている。ここで $O_1, O_2$ はそれぞれ $q$ の $X$ における開近傍である。$\beta\mathbb{N}$ の基本開集合の定義より、$O_1 = X^*$, $O_2 = Y^*$ となるような部分集合 $X, Y \subset \mathbb{N}$ が存在して、$q \in X^*$ かつ $q \in Y^*$ を満たすとしてよい。

ここで、$A = O_1 \cap \mathbb{N}$, $B = O_2 \cap \mathbb{N}$ とおく。定義節で確認した埋め込みの性質 $X^* \cap \mathbb{N} = X$ を用いると、$A = X^* \cap \mathbb{N} = X$ であり、$B = Y^* \cap \mathbb{N} = Y$ となる。すなわち、$O_1 = A^*$, $O_2 = B^*$ である。

q \in A^* かつ q \in B^* であることは、$\beta\mathbb{N}$ の基本開集合の定義から、$A \in q$ かつ $B \in q$ であることを意味する。$q$ は超フィルターであり、フィルターとしての有限交叉性を持つため、$A \cap B \in q$ が成り立つ。

さらに $q$ は自由超フィルターであるため、有限集合を要素として持たない。ゆえに、$A \cap B$ は $\mathbb{N}$ の無限部分集合である。

$A \cap B$ は無限集合であるため、その中から相異なる2つの自然数 $n, m$ を $n < m$ となるように選ぶことができる。

このとき、
(1) $n, m \in A \cap B$ より、$n \in A$ かつ $m \in B$ である。自然数は $\beta\mathbb{N}$ の点と同一視されるとき、$n \in A^*$ かつ $m \in B^*$ を意味する。よって点 $(n, m)$ は基本開近傍 $A^* \times B^*$ に属する。同時に、$n < m$ であるため $(n, m) \in U$ である。したがって、$(A^* \times B^*) \cap U \neq \varnothing$ である。これは $(q, q) \in \overline{U}$ を意味する。

(2) 同様に、$m, n \in A \cap B$ より、$m \in A$ かつ $n \in B$ である。よって点 $(m, n)$ は基本開近傍 $A^* \times B^*$ に属する。同時に、$m > n$ であるため $(m, n) \in V$ である。したがって、$(A^* \times B^*) \cap V \neq \varnothing$ である。これは $(q, q) \in \overline{V}$ を意味する。

以上より、任意の開近傍が $U$ および $V$ と交わるため、$(q, q) \in \overline{U} \cap \overline{V}$ となる。$U \cap V = \varnothing$ であったにもかかわらず、その閉包が交点 $(q, q)$ を持つため、$X \times X$ は超不連結ではない。

$X$ が無限集合であるため、構成的に開集合列を取り出すことができる。これを数学的帰納法により構成する。

まず、$X$ は無限集合なので相異なる2点 $x_1, y_1 \in X$ を選ぶことができる。Hausdorff性より、$x_1, y_1$ の交わらない開近傍 $W_{x_1}, W_{y_1}$ が存在する（$W_{x_1} \cap W_{y_1} = \varnothing$）。$X$ は無限空間であるから、$W_{x_1}$ または $W_{y_1}$ の少なくとも一方は無限個の点を含む。無限個の点を含む方を $X_1$ とし、他方を $U_1$ とおく。ここで $U_1$ は空ではない開集合であり、$X_1$ は無限部分空間となる。

次に、無限部分空間 $X_1$ の中から相異なる2点 $x_2, y_2 \in X_1$ を選ぶ。Hausdorff性より、交わらない開近傍 $W_{x_2}, W_{y_2}$ が存在する。これらと $X_1$ の共通部分をとることで、$X_1$ に含まれる交わらない開集合が得られる。再び少なくとも一方は無限集合となるため、無限集合となる方を $X_2$ とし、他方を $U_2$ とおく。このとき $U_2 \subset X_1$ であり、$U_1 \cap X_1 = \varnothing$ であるため、$U_1 \cap U_2 = \varnothing$ となる。

この操作を帰納的に繰り返す。第 $n$ 段階で得られた無限部分空間 $X_n$ から相異なる2点を選び、交わらない開集合に分離し、無限集合を含む方を $X_{n+1}$、他方を $U_{n+1}$ と定める。この構成により、各 $U_n$ は空でない開集合であり、任意の $m < n$ について $U_n \subset X_{m}$ かつ $U_m \cap X_{m} = \varnothing$ であるため、$U_m \cap U_n = \varnothing$ が成り立つ。

以上により、互いに素な空でない開集合の可算無限列 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ を得ることができる。

族 $\{F_A\}_{A \in p}$ が有限交叉性（任意の有限個の共通部分が空でない性質）を持つことを示す。

任意の有限個の要素 $A_1, A_2, \dots, A_k \in p$ を取る。$p$ はフィルターであるため、有限個の共通部分について閉じており、$A_{int} = \bigcap_{i=1}^k A_i \in p$ である。$p$ は自由超フィルターであり空集合を含まないため、$A_{int} \neq \varnothing$ である。したがって、ある自然数 $m \in A_{int}$ が存在する。

各 $i = 1, \dots, k$ について $m \in A_i$ であるため、$W_m \subset \bigcup_{n \in A_i} W_n$ である。ゆえに、 $$ W_m \subset \bigcap_{i=1}^k \left( \bigcup_{n \in A_i} W_n \right) $$ が成り立つ。両辺の閉包を取れば、 $$ \overline{W_m} \subset \overline{\bigcap_{i=1}^k \left( \bigcup_{n \in A_i} W_n \right)} \subset \bigcap_{i=1}^k \overline{\bigcup_{n \in A_i} W_n} = \bigcap_{i=1}^k F_{A_i} $$ となる。$W_m$ は空ではない（補題1のような空でない集合列を想定している場合）とすれば、$\overline{W_m}$ も空ではなく、したがって $\bigcap_{i=1}^k F_{A_i} \neq \varnothing$ となる。

閉集合族 $\{F_A\}_{A \in p}$ は有限交叉性を持つことが示された。空間 $X$ はコンパクト空間であるため、コンパクト性の同値な定義より、有限交叉性を持つ閉集合族全体の共通部分は空ではない。よって、$\bigcap_{A \in p} F_A \neq \varnothing$ である。

背理法によるのではなく、直接的に $X \times Y$ において「互いに素な開集合で、その閉包が交わるもの」を構成することで、超不連結ではないことを証明する。

ステップ 1: 直積空間内の互いに素な開集合の構成
$X$ と $Y$ はともに無限Hausdorff空間である。補題1より、$X$ 内には互いに素な空でない開集合列 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ が存在し、$Y$ 内にも互いに素な空でない開集合列 $\{V_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ が存在する。

ここで、直積空間 $X \times Y$ の部分集合 $U$ と $V$ を次のように定義する。 $$ U = \bigcup_{n < m} (U_n \times V_m) $$ $$ V = \bigcup_{n > m} (U_n \times V_m) $$ 各 $U_n \times V_m$ は $X \times Y$ の開集合であるため、その和集合である $U$ と $V$ も $X \times Y$ の開集合である。また、$n < m$ と $n > m$ という条件は両立せず、$U_n \times V_m$ 同士は互いに素であるため、明らかに $U \cap V = \varnothing$ である。

ステップ 2: 自由超フィルターを用いた極限点の選択
$\mathbb{N}$ 上の自由超フィルター $p$ を一つ固定する。
補題2を空間 $X$ と開集合族 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ に対して適用すると、共通部分 $\bigcap_{A \in p} \overline{\bigcup_{n \in A} U_n}$ は空ではない。この共通部分から点 $x \in X$ を一つ選ぶ。
同様に、空間 $Y$ と開集合族 $\{V_m\}_{m \in \mathbb{N}}$ に対して補題2を適用し、共通部分 $\bigcap_{A \in p} \overline{\bigcup_{m \in A} V_m}$ から点 $y \in Y$ を一つ選ぶ。

ステップ 3: 点 $(x, y)$ が $\overline{U}$ に属することの証明
選ばれた点 $(x, y) \in X \times Y$ が、開集合 $U$ の閉包 $\overline{U}$ に属することを示す。そのためには、$(x, y)$ の任意の基本開近傍 $O_x \times O_y$ が $U$ と交わること、すなわち $(O_x \times O_y) \cap U \neq \varnothing$ であることを示せばよい。

$O_x$ は $x$ の $X$ における開近傍である。ここで、$\mathbb{N}$ の部分集合 $N_x$ を次のように定義する： $$ N_x = \{ n \in \mathbb{N} \mid O_x \cap U_n \neq \varnothing \} $$ この $N_x$ が必ず自由超フィルター $p$ に属することを示す。仮に $N_x \notin p$ だと仮定する。超フィルターの性質から、その補集合 $B = \mathbb{N} \smallsetminus N_x$ は $p$ に属する（$B \in p$）。
点 $x$ の定義より、$x \in \overline{\bigcup_{n \in B} U_n}$ である。$O_x$ は $x$ の開近傍であるから、$O_x$ は必ず $\bigcup_{n \in B} U_n$ と交わらなければならない。すなわち、ある $n \in B$ が存在して、$O_x \cap U_n \neq \varnothing$ となる。
しかし、$O_x \cap U_n \neq \varnothing$ となる自然数 $n$ は定義により $N_x$ に属する。これは $n \in B = \mathbb{N} \smallsetminus N_x$ と矛盾する。したがって、背理法により $N_x \in p$ でなければならない。

全く同様の論法を $Y$ 側にも適用する。$O_y$ を $y$ の $Y$ における開近傍とし、$M_y = \{ m \in \mathbb{N} \mid O_y \cap V_m \neq \varnothing \}$ と定義する。仮に $M_y \notin p$ とすると補集合が $p$ に属し、$y$ の定義と矛盾するため、$M_y \in p$ である。

$p$ はフィルターであるため、有限交叉性により $N_x \cap M_y \in p$ である。さらに $p$ は自由超フィルターであるため、有限集合を要素として持たない。ゆえに、$N_x \cap M_y$ は無限集合である。

$N_x \cap M_y$ が無限集合であるため、その中から相異なる2つの自然数 $n, m$ を $n < m$ となるように選ぶことができる。

• $n \in N_x$ であるから、$O_x \cap U_n \neq \varnothing$ である。ここから点 $u \in O_x \cap U_n$ を選ぶ。
• $m \in M_y$ であるから、$O_y \cap V_m \neq \varnothing$ である。ここから点 $v \in O_y \cap V_m$ を選ぶ。

構成した点 $(u, v)$ について考えると、$(u, v) \in O_x \times O_y$ である。また、$(u, v) \in U_n \times V_m$ であり、かつ $n < m$ であるため、定義より $(u, v) \in U$ である。したがって、$(O_x \times O_y) \cap U \neq \varnothing$ が示された。これは $(x, y) \in \overline{U}$ であることを意味する。

ステップ 4: 点 $(x, y)$ が $\overline{V}$ にも属することの証明
同様に、$N_x \cap M_y$ は無限集合であるため、今度は $n' > m'$ となるような相異なる2つの自然数 $n', m' \in N_x \cap M_y$ を選ぶことができる。

• $n' \in N_x$ より $O_x \cap U_{n'} \neq \varnothing$ であり、点 $u' \in O_x \cap U_{n'}$ を選べる。
• $m' \in M_y$ より $O_y \cap V_{m'} \neq \varnothing$ であり、点 $v' \in O_y \cap V_{m'}$ を選べる。

点 $(u', v')$ は $(u', v') \in O_x \times O_y$ かつ $(u', v') \in U_{n'} \times V_{m'}$ である。今回は $n' > m'$ であるため、定義より $(u', v') \in V$ である。したがって、$(O_x \times O_y) \cap V \neq \varnothing$ が示され、$(x, y) \in \overline{V}$ であることがわかる。

結論
以上の議論により、$U$ と $V$ は $X \times Y$ において互いに素な開集合（$U \cap V = \varnothing$）であったにもかかわらず、その閉包の共通部分に点 $(x, y)$ が属すること（$\overline{U} \cap \overline{V} \neq \varnothing$）が証明された。超不連結の定義が破れているため、直積空間 $X \times Y$ は決して超不連結にはならない。

圏がすべてのファイバー積（引き戻し）を持つためには、特別な場合として終対象上のファイバー積、すなわち任意の2対象に対する直積が存在しなければならない。

命題2.1より、もし $\mathbf{ExtrDisc}$ において対象 $X$ の直積 $X \times X$ が存在するならば、それは位相的直積と同相でなければならず、したがって位相的直積が $\mathbf{ExtrDisc}$ の対象（すなわち超不連結）でなければならない。

しかし、第4節の主定理（または第3節の命題3.1）より、$X = \beta\mathbb{N}$ のように無限空間である $X \in \mathbf{ExtrDisc}$ を選んだ場合、その位相的直積 $X \times X$ は超不連結ではない。したがって、そのような無限空間は $\mathbf{ExtrDisc}$ 内に直積を持たない。

直積が存在しない対象の組が存在するため、$\mathbf{ExtrDisc}$ は一般にファイバー積を持たない。